Bagur debutó el 10 de enero de 1960 con el Real Madrid jugando contra el Valencia camiseta valencia 2024 CF. En su segunda campaña, aunque el veterano Alonso se retiró, el Madrid fichó a Vicente Train y Bagur pasó a convertirse en el tercer portero de la plantilla, sin llegar a disputar un solo minuto en toda la temporada. Cuando Bagur llegó a la Casa Blanca era perfectamente consciente de que iba a tener complicada la titularidad en el club, porque este tenía ya en nómina dos porteros de gran categoría:el vasco Juanito Alonso y el argentino Rogelio Antonio Domínguez. A lo largo de la película aparecen otras canciones que no pertenecen a su banda sonora original, como son Tombe du Ciel escrita e interpretada por Charles Trenet; La vie en rose escrita por Mack David, Édith Piaf, y Louiguy e interpretada por Louis Armstrong; Qué será, será escrita por Ray Evans e interpretada por Jay Livingston; Mi carro escrita por Rafael Jaén e interpretada por Manolo Escobar; King of the Road escrita e interpretada por Roger Miller; Yes Sir, I Can Boogie escrita por Frank Dostal y Rolf Soja e interpretada por Baccara; Somos novios escrita e interpretada por Armando Manzanero; Españolear escrita por José Espeita y Luis Lucena e interpretada por este último; y Martial escrita por Walter Collins.
Jugó su primera participación en el campeonato nacional en 1960. En 1968, desciende por primera vez a Segunda Categoría y aunque su retorno fue inmediato, desde esa época, son frecuentes sus ascensos y descensos de categoría, incluso, bajando nuevamente a la Serie B en 1974, después a Segunda Categoría en los años 1974, 1977 y 1982, luego subiendo a la Serie B en 1975 y 1979 y finalmente subiendo al balompié rentado en 1985 después de casi 12 años. Son posiblemente las temporadas más brillantes de la carrera del portero menorquín, que sin embargo resultaron mediocres a nivel del club, que pasó sin pena ni gloria por la mitad de la tabla. Ese mismo año realizó una exitosa prueba con la Real Sociedad de San Sebastián y firmó con ese club el primer contrato profesional de su carrera. La primera salida a la península de Juan Bagur se produjo a principios de 1947 en que el FC Barcelona le sometió a una prueba, pero el jugador no aceptó la fórmula de contratación que le ofrecieron los azulgranas.
Fue a nivel estadístico el portero que más partidos disputó defendiendo la camiseta realista, aunque posteriormente fue superado por varios jugadores. Sin embargo, en cuanto el club tomó su nuevo rumbo y se abrió camino en el semiprofesionalismo, gozó del juego en su equipo de prometedores jugadores de la cantera zaragocista como Adán Pérez, José Carlos Gil, Edu García, Kevin Lacruz u Óscar Valero en sus últimos años en Tercera y sus primeros pasos en Segunda B. Posteriormente, se buscaron jugadores con experiencia en la categoría, a la vez que seguir contando con jugadores aragoneses o formados en las categorías aragonesas. Algunos mencionan que la debacle del equipo fue por la división del grupo debido a la camiseta 10, entre Julio César Uribe y Teófilo Cubillas, refiriendo que Uribe se había resentido con Cubillas porque a él le entregaron la «10» del equipo, siendo Uribe con La Rosa los jugadores del momento.
Durante sus últimas tres temporadas fue el capitán del equipo txuri-urdin. En 1959 Bagur ficha por el Real Madrid, replicas camisetas futbol equipo a cuya disciplina pertenecerá durante tres temporadas. La llegada de Eizaguirre deja a Bagur en el banquillo y así durante tres temporadas apenas juega unos pocos partidos el menorquín. Después de dos temporadas relegado a la suplencia por Araquistain, Bagur, de 31 años de edad, pactó con el club su traspaso al Real Madrid. Residió en la isla de Menorca hasta su fallecimiento en 2013, a los 85 años de edad y tras una larga enfermedad. ↑ «U. Católica retomó la senda del triunfo con una clara goleada sobre Audax». ↑ «Pedro pone a España líder (0-4)». FIFA. ↑ a b c d e Antonio Almagro Gorbea. ↑ «River: el debate, antes de ir a las urnas». Con el Atlético Ciudadela jugó las temporadas 1945-46 y 1946-47, proclamándose campeón de Liga y Copa de Menorca y subcampeón de Baleares. Durante esas temporadas fue portero suplente en la Selección Nacional Española hasta en 5 ocasiones, pero nunca llegó a debutar como internacional..
